2006年度 北海道公立高校入試問題 45分
（ 数 学 ） |
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| （ ）内の点数で計算すると60点満点になります。 |
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| 次の問いに答えなさい。 |
| [問1] |
(1)～(3)の計算をしなさい。 |
| (1) |
－５＋４ |
| (2) |
８÷(－２)＋７ |
| (3) |
| ６＋ |
１ |
×(－３)2 |
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| ９ |
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| [問2] |
(ｘ－４ｙ)×３ｘを計算しなさい。
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| [問3] |
ある式に２ａ＋１を加えると，７－４ａになります。このとき，ある式を求めなさい。
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| [問4] |
| 連立方程式 |
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ａｘ－ｂｙ＝14 |
| ａｘ＋ｂｙ＝－２ |
の解がｘ＝1，ｙ＝－２であるとき，ａ，ｂの値を求めなさい。
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| [問5] |
直線ｙ＝－５ｘ＋８をｙ軸の方向に９だけ平行に動かしたときの，直線の式を求めなさい。
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| [問6] |
| 右の図は，２つの合同な長方形を，長さの等しい辺の一部が重なるように並べて１つの図形にしたものです。 |
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| この図形に１本の直線を引くことによって図形の面積を２等分する直線のうち，次のア，イをともにみたす直線を１本作図しなさい。 |
| ア |
図形の頂点を通らない。 |
| イ |
図形の辺と重ならない。 |
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ただし，作図に用いた線は消さないこと。
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| [問7] |
右の図のように，１辺の長さが５cmの立方体があります。
次の文の(ア)～(ウ)にあてはまる記号をかき，(エ)にあてはまる数を求めなさい。 |
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| この立方体の頂点のうち，４つの頂点を結んで正四面体をつくります。点Ａを１つの頂点とする正四面体のＡ以外の３つの頂点は(ア)，(イ)，(ウ)です。この正四面体の１辺の長さは(エ)cmです。 |
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| [問1] |
(1) |
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/2点
(1点) |
| (2) |
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/2点
(1点) |
| (3) |
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/2点
(1点) |
| [問2] |
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/3点
(2点) |
| [問3] |
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/3点
(2点) |
| [問4] |
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/3点
(2点) |
| [問5] |
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/4点
(3点) |
| [問6] |
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/5点
(3点) |
| [問7] |
(ア) |
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/2点
(1点) |
| (イ) |
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/2点
(1点) |
| (ウ) |
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/2点
(1点) |
| (エ) |
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/3点
(2点) |
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| 計 |
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/33点
(20点) |
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| 次の問いに答えなさい。 |
| [問1] |
Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの３人がミニトマトの収穫をしました。収穫したミニトマトの個数数えると，Ｂさんの個数はＡさんの個数より８個少なく，Ｃさんの個数はＢさんの個数の半分でした。３人の収穫したミニトマトの個数の合計は128個でした。Ａさんの収穫したミニトマトの個数は何個でしたか。
Ａさんの収穫したミニトマトの個数をｘ個として方程式をつくり，求めなさい。
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| [問2] |
連続するいくつかの自然数があります。これらの自然数のうちでもっとも小さい自然数をａ，連続する自然数の個数をｂとするとき，連続する自然数の積を（ａ☆ｂ）と表すことにします。
例えば（５☆４）は，もっとも小さい自然数が５で，連続する４個の自然数の積となるので，下のように，（５☆４）の値は1680になります。 |
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| 次の(1)～(3)に答えなさい。 |
| (1) |
（８☆３）の値を求めなさい。
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| (2) |
| （３☆ｘ） |
＝３となるとき， |
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| （２☆ｘ） |
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ｘの値を求めなさい。
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| (3) |
| （ｙ☆２）と |
（ｙ☆２） |
の和は自然数の２乗 |
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| ｙ |
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になることを証明しなさい。ただし，ｙは自然数とします。
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| [問1] |
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/7点
(4点) |
| [問2] |
(1) |
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/2点
(1点) |
| (2) |
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/3点
(2点) |
| (3) |
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/5点
(3点) |
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| 計 |
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/17点
(10点) |
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| 右の図のように，２つの関数 |
| ｙ＝ａｘ2（ａは正の定数）…① |
| ｙ＝－ |
１ |
ｘ2…② |
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| ４ |
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のグラフがあります。
①のグラフ上に点Ａがあり，点Ａのｘ座標は正の数とします。点Ａを通り，ｘ軸に平行な直線と①のグラフとの交点をＢとし，点Ａを通り，ｙ軸に平行な直線と②のグラフとの交点をＣとします。点Ｏは原点とします。
次の問いに答えなさい。
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| [問1] |
①のグラフと②のグラフが，ｘ軸について対称であるときａの値を求めなさい。
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| [問2] |
①についてｘの値が１から４まで増加するときの変化の割合が，②についてｘの値が－４から－２まで増加するときの変化の割合に等しいとき，ａの値を求めなさい。
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| [問3] |
ａ＝１で，点Ａのｘ座標をｔとします。△ＡＢＣが直角二等辺三角形となるとき，ｔの値を求めなさい。
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| [問1] |
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/5点
(3点) |
| [問2] |
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/5点
(3点) |
| [問3] |
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/6点
(4点) |
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| 計 |
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/16点
(10点) |
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右の図のように，辺ＡＢが共通な△ＡＢＣと△ＡＤＢがあります。この２つの三角形を組み合わせた四角形ＡＤＢＣは対角線ＡＢを対称の軸とする線対称な図形とします。△ＡＢＣの３つの頂点を通る円と，△ＡＤＢの辺ＤＡの延長との交点をＥとし，線分ＢＥとＡＣの交点をＦとします。
次の問いに答えなさい。
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| [問1] |
∠ＡＢＦ＝30°，∠ＡＦＥ＝100°のとき，∠ＢＡＦの大きさを求めなさい。
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| [問2] |
ＢＣ＝ＢＥを証明しなさい。
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| [問1] |
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/6点
(4点) |
| [問2] |
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/10点
(6点) |
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| 計 |
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/16点
(10点) |
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| 次の問いに答えなさい。 |
| [問1] |
図1のように，４個のボールを透明な円筒の中に並べます。この４個のボールが，赤色，青色，黄色，緑色のボールであるとき，緑色のボールが一番下にくる並べ方は，全部で何通りありますか，求めなさい。
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図1 |
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| [問2] |
| 図2のように中心が１つの直線上にある半径２cmの３つの円A，B，Cと，これらの周りを動く半径２cmの円Oがあります。円A，Cは互いに重なることなく，円Bに接しています。円Oは，円A，B，Cのいずれかに接しながら，どれにも交わらないで動くものとします。 |
図2 |
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円Oがある位置から円A，B，Cの周りを１周してもとの位置まで動くとき，円Oの中心がえがく線の長さを求めなさい。
ただし円周率はπを用いなさい。
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| [問3] |
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円錐の展開図をできるだけ小さな正方形におさまるようにかくとき，この円錐の展開図をかくことのできる，もっとも小さな正方形の１辺の長さを求めなさい。
なお，円錐の展開図で，底面の円は側面のおうぎ形の弧とどこかで接しています。 |
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| [問1] |
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/4点
(3点) |
| [問2] |
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/7点
(3点) |
| [問3] |
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/7点
(4点) |
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| 計 |
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/18点
(10点) |
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計算