2006年度 東京都公立高校入試問題 50分
（ 数 学 ） |
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| 次の各問に答えよ。 |
| [問1] |
| － |
１ |
×４＋８を計算せよ。 |
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| ２ |
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| [問2] |
３(５ａ＋ｂ)－(７ａ―４ｂ)を計算せよ。
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| [問3] |
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| [問4] |
一次方程式ｘ－９＝３ｘ＋１を解け。
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| [問5] |
連立方程式 |
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ｘ－４ｙ＝６ |
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| ３ｘ＋ｙ＝５ |
を解け。 |
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| [問6] |
二次方程式ｘ2＋ｘ－72＝０を解け。
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| [問7] |
| 右の図１のように，１，２，３，４，５の数字を１つずつ書いた５枚のカードがある。 |
図1 |
    |
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この５枚のカードから同時に３枚のカードを取り出すとき，取り出した３枚のカードに書いてある数の和が偶数になる確率を求めよ。
ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
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| [問8] |
右の図２のように，円Ｏの周上に４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがある。
点Ａと点Ｂ，点Ａと点Ｃ，点Ｂと点Ｃ，点Ｂと点Ｄ，点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。
ＡＢ ＤＣ，∠ＢＤＣ＝40°，∠ＤＢＣ＝20°のとき，∠ＢＣＡの大きさは何度か。
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図2 |
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| [問9] |
右の図３で，△ＡＢＰは，点Ｐが△ＡＢＣの内角である∠ＢＡＣの二等分線上にあり，ＡＢ＝ＡＰの二等辺三角形である。
右に示した図をもとにして，△ＡＢＰを，定規とコンパスを用いて作図せよ。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
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図3 |
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| [問1] |
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/5点 |
| [問2] |
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/5点 |
| [問3] |
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/5点 |
| [問4] |
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/5点 |
| [問5] |
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/5点 |
| [問6] |
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/5点 |
| [問7] |
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/5点 |
| [問8] |
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/5点 |
| [問9] |
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/5点 |
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| 計 |
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/45点 |
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ある中学校の数学の授業で，[先生が示した問題]を皆で考えた後，生徒一人一人が図形の条件を変えて問題づくりに取り組んだ。
次の各問に答えよ。 |
[先生が示した問題]
a，ｂ，ｈを正の数とする。
右の図１で，四角形ＡＢＣＤは，ＡＤＢＣ，ＡＤ＝ａcm，BC＝ｂcmの台形であり，頂点Aから２つの頂点B，Cを通る直線までの距離はｈcmである。 |
図1 |
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四角形ＡＢＣＤの面積をＰcm2とするとき，Pをａ，ｂ，ｈを用いた式で表しなさい。 |
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| Ｓさんは，[先生が示した問題]の答えを次の形の式で表した。Ｓさんの答えは正しかった。 |
| ＜Ｓさんの答え＞Ｐ＝ |
１ |
ｈ( ) |
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| ２ |
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| [問1] |
＜Ｓさんの答え＞のに当てはまる式を書け。
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| Ｔさんは次の問題をつくった。 |
[Ｔさんが作った問題]
ａを０より大きく180より小さい数，ｃ，ｄ，ｒ，ｌ，ｍを正の数，ｃ＞ｄとする。
右の図２で， で示した図形は，半径がｃcm，中心角が∠AOB＝ａ°のおうぎ型OABに，半径がｄcm，中心角が∠COD＝ａ°のおうぎ形OCDを，点C，点Dがそれぞれ半径OA，半径OB上にあるようにつくり，おうぎ形OABからおうぎ形OCDを除いた残りの図形を表している。 |
図2 |
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| で示した図形の面積をQcm2とする。 |
| CA＝ｒcm， |
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＝ｌcm， |
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＝ｍcmとするとき， |
| CD |
AB |
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| Q＝ |
１ |
ｒ(ｌ＋ｍ)となることを確かめなさい。 |
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| ２ |
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| [問2] |
| [Tさんが作った問題]でQ＝ |
１ |
ｒ(ｌ＋ｍ)となる |
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| ２ |
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ことを証明せよ。
ただし，円周率はπとする。
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| 右の図1で，点Oは原点， |
| 曲線ｌは関数ｙ＝ |
１ |
ｘ2の |
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| ４ |
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グラフを表している。
点Ａ，点Ｂはともに曲線ｌ上にあり，ｘ座標はそれぞれ－４，６である。
点Ａと点Ｂを結ぶ。線分ＡＢ上にある点をＰとする。
曲線ｌ上にあり，ｘ座標が点Ｐのｘ座標と等しい点をＱとする。 |
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図1 |
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座標軸の１目盛りを１cmとして，次の各問に答えよ。
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| [問1] |
点Qのｙ座標をａとする。点Ｐが線分ＡＢ上を点Ａから点Ｂまで動くとき，ａのとる値の範囲を不等号を使って，≦ａ≦で表せ。
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| [問2] |
図1において，点Ｐがｙ軸上にあるとき，２点Ｂ，Ｑを通る直線の式を求めよ。
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| [問3] |
右の図2は，図1において，点Ｐのｘ座標が６より小さい正の数のとき，点Ｐと点Ｑを結び，２点Ｂ，Ｑを通る直線とｙ軸との交点をＲとした場合を表している。
線分ＰＱの長さが６cmのとき，線分BQの長さと線分QRの長さの比をもっとも簡単な整数の比で表せ。
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図2 |
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| [問1] |
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/5点 |
| [問2] |
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/5点 |
| [問3] |
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/5点 |
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| 計 |
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/15点 |
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右の図1で，四角形ABCDは正方形である。
頂点Aと頂点Cを結ぶ。
点Pは正方形ABCDの辺BC上にある点で，頂点B，頂点Cのいずれにも一致しない。
頂点Dと点Pを結び，対角線ACとの交点をQとする。
次の各問に答えよ。
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図1 |
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| [問1] |
図1において∠DPC＝ａ°とするとき，∠ＤＱＣの大きさをａを用いた式で表せ。
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| [問2] |
右の図2は，図1において，点Ｑを通り線分ＤＰと垂直に交わる直線をひき，辺ＢＣをＣの方向に延ばした直線との交点をＲとした場合を表している。
次の①，②に答えよ。
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図2 |
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| ① |
△ＤＰＣ∽△ＲＰＱであることを証明せよ。
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| ② |
図2において，頂点Ｂと点Ｑを結んだ場合を考える。
ＡＢ＝12cm，BP＝８cmのとき，△BRQの面積は何cm2か。
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| [問1] |
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/5点 |
| [問2] |
① |
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/8点 |
| ② |
|
/5点 |
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| 計 |
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/18点 |
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右の図1に示した立体 ABC-DEFは，AB＝８cm，AC＝４cm，AD＝８cm，∠BAD＝∠CAD＝90°の三角柱である。
点P，点Q，点Rは，それぞれ辺AD，辺BE，辺CF上にある点でAP=BQ=CRである。
頂点Bと頂点D，点Pと点Q，点Qと点R，点Rと点Pをそれぞれ結ぶ。 |
図1 |
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線分BDと線分PQとの交点をSとし，点Rと点Sを結ぶ。
次の各問に答えよ。
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| [問1] |
点Pが辺ADの中点になるとき，線分RSの長さは何cmか。
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| [問2] |
右の図2は，図1において，頂点Bと点Rを結んだ場合を表している。
QS＝QRとなるとき，立体B-QRSの体積は何cm3か。
ただし，答えに根号がふくまれるときは，根号をつけたままで表せ。
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図2 |
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 図形 |
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